Chứng minh Bổ đề Fatou

  • Đặt g k = inf n ≥ k f n {\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq _{k}}f_{n}}
  • Từ đó ta có g k ↗ lim inf n → ∞   f n {\displaystyle g_{k}\nearrow \liminf _{n\to \infty }\ f_{n}}
  • Theo định lý về sự hội tụ của hàm số, ta có
∫ S lim inf n → ∞ f n d μ = lim k → ∞ ∫ S g k d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ S f n d μ {\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,}

Liên quan